【摘 要】在本文中，我们利用filter方法进行线性搜索，使迭代点能够保证约束函数或目标函数充分下降。
【关键词】非线性规划；线性方程组；Filter
The Application of A Filter Method in the solution of Nonlinear Programming Problems
ZHENG Xue-lian
（Shandong Institute of Business and Technology， Yantai Shandong 264005， China）
【Abstract】In this paper， we study filter method to perform linear search， The aim is allows a step to be accepted if it reduces either the objective function or the constraint violation function.
【Key words】Nonlinear programming； Systems of Linear Equations； Filter
本文考虑如下形式的非线性最优化问题：
f（x）s.t. c （x）≤0， i∈I={1，2，…，m}，
其中f（x）：R →R，c （x）：R →R ，i∈I都是连续可微的实值函数。对于任意x∈R ，I（x）={i∈I|c （x）=Ψ（x）}，其中Ψ：R →R，Ψ（x）=max{c （x），i∈I；0}。本文中，h（c（x））=‖c （x）‖ ，其中c （x）=（c （x），…，c （x）） ，c （x）=max（0，c （x）），i∈I。搜索方向由如下的线性方程组来计算，
（LS1）H d+ λ ？荦c （x ）=-？荦f（x ），c （x ）+？荦c （x ） d=0，i∈J
解为（d ，λ ） ，其中H ∈R 是对称矩阵，J ={i|-ε （LS2）H d+ λ ？荦c （x ）=-？荦f（x ），c （x ）+？荦c （x ） d=v ，i∈J 解为（d ，λ ），其中，v =（λ ） ，λ ≤0且i∈J 0，其他； （LS3）H d+ λ ？荦c （x ）=-？荦f（x ），c （x ）+？荦c （x ） d=-c （x +d ）+‖d ‖ ，i∈J 解为 ， ，这里v∈（2，3）。 本文假设下列条件始终成立： A1 对任意x∈R ，向量组{？荦c （x），i∈I（x）}是线性无关的，产生的迭代序列{x }包含在一个紧致凸集S中。 A2 设在KKT点x 处，对应的乘子向量为λ ，并且二阶充分条件与严格互补松弛条件成立。 引理1 对充分大的k，有（i）J ≡I（x ）；（ii）λ →λ ；（iii）v =0。 引理2 对充分大的k，‖ -d ‖=O（‖d ‖ ）。 证明 由引理1，对充分大的k，d =d 。再由（LS1）和（LS3）可得 H （ -d ）+ （ -λ ）？荦c （x ）=0，？荦c （x ） （ -d ）=-c （x +d ）+‖d ‖ ，i∈I（x ） 对任意的i∈I（x ），有 -c （x +d ）+‖d ‖ =-c （x ）-？荦c （x ） d +‖d ‖ +O（‖d ‖ ） =O（‖d ‖ ） 因为方程组的系数矩阵非奇异，所以引理的结论是正确的。 下面，我们给出本文的主要结果： 定理 若上述所有假设条件成立，则对充分大的k，有h（c（x + ））=0。 证明 对i∈I＼I（x ），当k充分大时，由c （x ）<0且 →0，可得c （x + ）<0。 对i∈I（x ），利用泰勒公式 c （x + ）=c （x +d + -d ）=c （x +d ）+？荦c （x +d ） （ -d ）+O（‖ -d ‖ ） 再由（LS3）及引理2可得 c （x + ）=-c （x ）-？荦c （x ） -‖d ‖ +？荦c （x ） （ -d ）+O（‖d ‖‖ -d ‖）+O（‖ -d ‖ ）=-‖d ‖ +O（‖d ‖ ） 因为v∈（2，3），故当k充分大时，由引理1可知c （x + ）≤0。综上所述，当k充分大时，h（c（x + ））=0。 【参考文献】 [1]R.Fletcher and S.Leyffer. Nonlinear programming without a penalty function[R]. Technical Report NA/171， Department of Mathematics， University of Dundee， Scotland to appear in Mathematical Programming， 1997. [2]C.M.Chin. A local convergence theory of a filter line search method for nonlinear programming[J]. Numerical Optimization Report， Department of Statistics， University of Oxford， England， 2002. [3]A.Wachter and L.T.Biegler. Line search filter methods for nonlinear programming： Local convergence[J]. Technical report， Department of Chemical Engineering， Carnegic Mellon University， 2004. [4]高自友，贺国平，吴方.任意初始点下的序列线性方程组算法[J].中国科学（A辑），1997，27（1）：24-33. [责任编辑：杨玉洁] ※基金项目：山东工商学院青年科研基金资助项目（2013QN053）。 作者简介：郑雪莲（1979.08—），女，汉族，应用数学硕士，讲师，主要研究非线性规划。