摘 要： 微分方程模型是应用数学解决各种问题最成功最精彩的篇章，在高等数学教学中，选择微分方程模型作为范例教学具有极其重要的意义。本文列举了两个适合于教学的微分方程数学模型。
关键词： 微分方程模型 范例教学 高等数学
1.引言
微分方程是一类应用十分广泛而且最常见的数学模型，其建模方法在数学模型课程的教学中占有极其重要的地位.具体体现在三个方面：是机理分析建模方法的最佳体现；是微积分应用的最好范例；是物理定律最精确的定量描述.
微分方程模型作为连接物质科学乃至社会科学与数学科学的主要桥梁，作为一类描述物体运动变化规律的数学模型，不仅拥有用数学方法研究实际问题的悠久历史，而且在如今的社会实践中继续保持着进一步发展的活力，所以无论数学模型教材的版本如何改编、内容如何选取、讲授者如何增删，其作为一类重要的应用广泛的基本模型在数学模型课程或者数学建模竞赛中都是不可或缺的，是应用数学解决各种问题最成功最精彩的篇章，选择微分方程模型作为范例教学具有极其重要的意义.
2.适合于教学的微分方程数学模型
问题1：她在古墓中躺了多久？长沙马王堆一号墓于1972年8月出土，当一号墓被打开，一位形体完整，全身润泽的女尸，以其不老容颜出现在人们的面前时，一切焦点都集中到了她的身上，她是谁？她在古墓中到底躺了多少年？
解：我们利用墓中发现的用于防潮防腐的木炭确定马王堆一号墓的年代.
设N（t）表示时刻的原子数，则表示单位时间内原子的蜕变数，并且它与N成正比，即=-λN（λ为衰变常熟），λ为一正常数，自然λ越大，物质蜕变得越快，设N（0）=N，解微分方程，得N=Ne.
已知开墓时测得木炭中碳-14的平均原子蜕变数N′（t）=29.78次/min，新木炭的平均原子蜕变数N′（0）=38.37次/min，C的半衰期T=5568年.由上式，样品C目前的蜕变率N′（t）∶N′（t）=-λNe，而原来的蜕变率是N′（0）=-λN，因此=e（λ=），从而t=ln=ln，将数据代入上式，得
t=ln=2036年.
这样就估计出马王堆一号墓的大致年代是2000年前（西汉末年）.
问题2：他是嫌疑犯吗？受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6度；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4度.室温在几小时内始终保持在21.1度.此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室.”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟.现在的问题是：张某不再凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？
解：设T（t）表示t时刻尸体的温度，并记晚8：20为t=0，则
T（0）=32.6℃，T（1）=31.4℃
假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37℃.要确定受害者死亡时间（凶犯的作案时间），也就是求T（t）=37℃的时刻t.
假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差，即
=-k（T-21.1）（1）
其中方程右端的负号是因为当T-21.1＞0时，要T降低，故＜0；反之，当T-21.1＜0时，T要升高，故＞0.
方程（1）是一个可分离变量的微分方程.求解该微分方程，易得
T=21.1+11.5e
当T（t）=37℃时，有21.1+11.5e，得
e=≈1.38，于是t≈≈-2.95
由于2.95小时≈2小时57分，因此t=8：20-2小时57分=5：23，即作案时间大约在下午5:23.因此张某不能被排除在嫌疑犯之外.
3.结语
把真实的现实生活事例作为高等数学的教学案例，可以大大提高学生的学习积极性和主动性，把高等数学这门枯燥乏味、了无生趣的课程变成了生动活泼的寓教于乐、乐有所学的一门课程.这就是范例教学的魅力，它改变着我们的课堂教学，改变着与之相关的各方参与者，而微分方程模型在范例教学中起到了不可替代的作用.
参考文献：
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