摘要：离散数学是计算机科学与技术专业的一门重要的专业基础课程，概念多，定理多，理论性强，高度抽象，这些特点给教学都带来了极大困难。离散数学教学的最终目的是为计算机应用类专业的学生提供必需的数学基础和理论准备，为后续课程和专业基础打下坚实的基础。如何开好这门课程，是摆在我们面前的一个现实问题。这涉及到课程目标的准确定位、优化和整合教学内容、综合利用多种教学方法、巧妙实施教学环节，构建丰富而别具特色的支撑环境等多个方面。结合教学实践经验，本文从教学内容剪裁、教学环节把握与支撑环境建设三个方面，探讨了教学改革的探索与体会，并指出自动化、智能化的支撑学习环境对改善教学效果具有重要作用。
关键词：离散数学；教学改革；教学实践与探索；自动化；可视化
中图分类号：G642.0？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）34-0211-03
一、概述
《离散数学》是随着计算机科学的发展而逐步形成的一门新兴的工具型学科，它以离散化量的结构以及它们之间的相互关系为研究对象。课程内容包含了数学的多个分支，具有鲜明的应用背景，是一门重要的基础课程。在高校众多课程体系中，《离散数学》通常是信息与计算科学和应用数学的专业基础课，是计算机专业的必修课程，也常作为电子、信息工程等专业的选修课程。在计算机专业的课程体系中，如数据结构、操作系统、数据库理论等，都把它列为先修课程。它在数据结构、程序设计语言、数值计算、操作系统、编译系统、软件工程，信息检索、网络与分布式计算、计算机图形学及人机通信等各个领域都有着广泛的应用。作为计算机专业的课程群中的一员，“离散数学”具有重要的地位和作用。
以离散量为研究对象的《离散数学》，必然用到一定的数学理论和方法。理论性强、内容丰富、概念繁多、定理多、推理多，较为抽象，而且相互关系松散等等特点始终贯穿在整个教学活动中，这给教师和学生在教学上带来很大困难。目前，离散数学的教学方法基本上是理论教学，教学过程显得沉重而枯燥。讲授过程如果全部板书，势必占用很多时间，影响整个教学进度，学生也会产生倦怠感；借助于多媒体手段，则可以使教师有更多的时间进行讲解，但是理解程度不易把握，关键细节容易被忽略，以致理解不透。因此，很多学生都觉得学起来比较枯燥，不感兴趣，感觉脱离了计算机实际应用。教师上课时也感觉比较艰难，很难调动学生的学习兴趣。为改变上述各种现状，提高教学效果，各高校的《离散数学》课程教学团队进行了广泛的改革与探索。
二、教学改革目标
课程教学改革的目的是努力提高教学水平，提高学生的抽象思维、严密推理以及综合归纳分析能力，为后续专业课程奠定数学基础和理论准备，而不仅仅是知识传授。为此，我们初步归纳出离散数学教学的三大目标是：
1.初步掌握离散数学的基本理论与方法，培养抽象的逻辑思维能力与严密的思维能力。
2.掌握必须的基础知识，为诸多后续专业课程提供理论支持。
3.作为计算机专业的应用与研究工具，掌握并使用它解决本专业的实际应用问题，为毕业后创新性开展工作任务储备能量。
三、现状
为了实现教学改革目标，提高教学效果，各个高校“离散数学”教学团队进行了多种尝试，并取得了较好的效果。比如，教学方法方面，梁道雷[1]从教学技巧、理论联系实际、网络4A教学和上机实验方面做了探索和研究；课程应用方面，王丽[2]则从数学的角度出发，重点探讨了“离散数学”的具体应用；在教学模式方面，黄震[3]针对传统理论教学的不足，提出了实验设计的模式改进探索；杨淑群[4]则对教学内容的优化、教学方法的科学应用（结合实际，结合兴趣，结合科研，结合实验）和教学方式的与时俱进进行了阐述；谢志强[5]则以导入法为支撑，以激发学生兴趣为主线，重点探讨了讲好第一次离散数学的重要性；何中胜[6]则从教学环节出发，探讨了教学互动过程中可能出现的问题以及一般的对付策略；匡能晖[7]则以实例阐述了教学方法中的几个技巧，具有实践借鉴意义。
四、教改探索
一门好的课程教学，离不开教学内容的精选与定位，以及教学各个环节的创新、改革与进步。以下我们就课程内容、教学方法、教学环节、反馈与调整、支撑环境等主要方面的探索体会进行简述，以期抛砖引玉。
1.教学内容。从培养学生能力，提高人才培养质量的角度而言，教学内容改革放在首要位置。结合各自学校专业特点和学生实际情况，精心编写专业培养计划和教学大纲，并进行教学内容调整，显得特别重要。《离散数学》课程的教学内容通常包括：数理逻辑、集合论、关系、代数系统、组合数学和图论等部分，各个部分独立性很强，可单独讲授。授课课时安排有108、72和54三种，授课时间通常安排在大二第一学期进行。各个高校根据自己的专业特点和课程体系的内在逻辑，一般会对《离散数学》的教学课时和内容进行选择和安排，以便适应本校培养目标的需要。在54课时、授课一学期的情况下，通常选择数理逻辑、集合与关系、图论三大部分内容进行讲授。①数理逻辑：主要包括命题、谓词、公式、范式、推理理论等。利用命题、联结词的运算规则，建立符号系统的表示与运算。②集合论：主要包括集合的概念和运算、关系、性质、特殊关系、函数等。③图论：主要包括图的基本概念、图的矩阵表示、树、生成树、最短路径、关键路径等。我们学校开设的“离散数学”，课时54，开课一学期，纯理论教学。在教学时数少，教学内容多的矛盾中，我们在教学大纲和培养计划的框架下，对讲课内容精减，结合专业特点适当增减内容，从而实现对教学内容的改革。在综合考虑了基础知识、后继准备、课时与体系完整性等方面后，我们教学内容选择了数理逻辑+集合与关系+图论+应用的组合模式。
数理逻辑是一种方法论的学习，它是所有学科的基础，起到举足轻重的基础作用。由它训练得到的知识体系构建方法以及定义、语法和语意推理，组成了严密思维逻辑能力培养的保障。通过数理逻辑的学习，培养学生严密的推理论证能力，为将来学习程序理论、问题建模与优化和人工智能等打好基础。集合论有着严密的逻辑性和体系完整性。内容的衔接非常自然，流畅而完备。在初高中集合知识的基础上，推出了有穷集、无穷集、可列集等概念，并进而引进了集合的知识作为比较方法，从而在逻辑上完备了整个体系，在此基础上，给出了居于集合的各种关系表述，并重点阐述了一些特殊的关系及其应用。让学生感受到这部份知识在人工智能、知识发现、数据挖掘等等领域的重要应用。图论的理论基础，覆盖了计算机应用的大部分领域，如网络理论、信息论、数据结构、人工智能、形式语言等，在现实中有着广泛的应用。集合论和图论为数据结构和数据表示理论奠定了数学基础和描述方法，也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的一些重要方法。④考虑到体系的完整性，代数系统就没有选择，把剩余的课时量，放到了选择部分的具体应用上。具体来说，就是针对数理逻辑、集合与关系和图论，各安排一个综合性的应用分析题目，通过该题目的学习，加深对理论的理解，增强学生信心。
在课程内容设置上，数理逻辑是第一大部分，占据很重要的位置，是讲述的重点之一。通过符号定义，语法规则，语意解释和推理训练，构筑严密的思维体系训练和数学逻辑思维培养。集合论这一章内容比较简单，高中已经学过部分内容，所以这部分内容采用画龙点睛的方式进行介绍。重点放在使用数理逻辑的知识，解决集合论中的一般证明方法。既让学生复习了数理逻辑的有关知识，舒缓一下数理逻辑学习时的紧张情绪，同时也让同学们感受到，使用数理逻辑解决集合问题的独特方式，从而获得既熟悉又陌生的学习体验。第二部分的讲述内容，重点放在关系、关系性质以及特殊的关系和具体应用上，让学生获得学习“离散数学”那种沉甸甸的收获知识的真实感受，从而坚定信心，甚至激发各种对各种实际应用探究的兴趣。图论部分，则重点介绍基本概念和各种应用。各种定理，则要求能理解并能应用就好，不要求掌握艰深的证明过程和具体实现。比如，通过做习题，掌握“握手定理”的各种妙用，增强学生的知识把握感。
2.教学环节与方式。教学方法的探索，一直是授课老师不断努力的方面，是一个涉及学生实情、个性习惯和传达技巧等多个方面的综合应用。好的教学方式，能显著提高教学效果。在实际教学中，我们总结了以下几个方面，灵活运用，能明显改善教学效果，活跃课堂气氛。①联系实际。离散数学课程的内容比较抽象，理解过程与平常的思维方式很多都不一样，学生难以接受，学习起来也比较枯燥。所以在上课时，在讲解清楚定义、定理的同时应该尽量结合实际，列举一些与该知识对应的实际例子，增加学生对离散数学的亲近感，从而认识到学习离散数学的必要性、实用性和趣味性。比如，在讲完数理逻辑后，结合实例讲解藏宝位置判断综合应用题，既灵活应用了主范式的知识，又增加了趣味性和参与性；在讲完偏序的理论知识之后，举例说明利用偏序可以解决调度中的最优调度问题，并指出，后续课程中的操作系统的任务调度，与这个原理是相同的；在讲解图论的时候，可以用求最短路径问题和旅行商最优问题作为例子；在树的应用方面，可以利用哈夫曼树构建，实现编码，然后提高通信效率等。通过理论联系实际，增强应用感受，体会“离散数学”的魅力。②授课技巧。同一讲授内容，采用一定技巧与否，效果可能很不一样。通过不断摸索和总结，我们在讲授“离散数学”时，积累了一些授课技巧，陈述如下。氛围搭建。主要是指根据授课内容，从现实现象引入主题；或者在第一页多媒体课件上呈现本章的知识体系结构图，通过简要复习上节课的内容，自然引入到本节授课内容里面去；掌握节奏。不论是多媒体课件还是板书教学，重点不再放在讲授内容上（因为已经很熟悉，不用担心讲错），而是观察学生的认知理解的进展情况，从而调整授课节奏，快慢有度，并对讲授内容和进度进行适当微调。讲练相间。理论内容的理解对错与矫正，很大部分是通过做一定的习题获得的。因此，在讲授的同时，特别是讲授完毕一定的知识点后，用3～5分钟做一些课堂习题，并当堂讲解，效果很好。既不会让学生感觉一味理论讲授的枯燥感，又能通过练习获得验证体会，同时把整个教学脚步调整整齐，从而提高整体教学水平。当然，这需要非常熟悉讲授内容，并进行了充分的备课。授课技巧还有很多，每个老师都有自己不同的方法。不过，法无定法，能提高教学效果的技巧，都是好技巧。③课后作业。适当的作业必不可少，作业量贵精不贵多。因此，我们在授课时，通常是每两次授课后，布置一次作业，批改后进行讲解。布置的作业，通常都是一些有点难度，稍微综合类型的。通过作业，达到知识点融会贯通的目的。当然，作业的批改也能知道薄弱环节，从而在讲授新课前进行复习和补充。④习题精讲。习题精讲是很受学生们欢迎的一个过程。通过设置一些具有代表性的习题，并进行深入讲解，甚至一题多解的方式，既加深了学生对理论知识的理解，又拓展了学生的思维模式。特别是谓词逻辑部分，典型的习题求解过程，常常让学生有大开眼界之感。又比如树中节点数目的求解，通过深入挖掘题目中隐含的意思，完成题目的求解，从而体会到握手定理的妙用，实现了知识点的理解、掌握与融会贯通。⑤板书与多媒体相结合。如果只采用板书形式上课，则进度偏慢，与当前的教学技术也不匹配，很难获得学生的认可；如果只采用多媒体授课，则教学推进容易偏快，需要深入思考和理解的地方，时间节奏不容易把握，更何况学生个体有差异性。因此，采用以多媒体教学形式为主，板书为辅的课堂教学方式，辅以提问和课堂作业，准确把握知识传授情况，从而控制和调整授课进度。同时，生动直观的图形、表格表示的多媒体课件，可以减少枯燥感；关键知识点的动画演示，学生可以反复看到整个的算法求解过程，使得学习过程更轻松，学习效果更好从而更容易被接受。而某些证明题，则需要老师在黑板上写出每一个详细的步骤，学生可以模拟整个过程，体会解题思路，从而加深对知识点的理解和掌握。⑥支撑环境——构建网络教学平台。数字化教学资源建设在高校教育信息化背景下成为课程建设和教学改革的重要内容。在这个大背景下，我校构建了课程中心的网络教学管理平台，提供给老师、学生进行交互，并实现网络教学资源的开放与共享。通过申请离散数学的网络教学课程，我们《离散数学》教学组把近几年积累的大量的数字化课程资源，如课程简介，教学大纲，授课方案，教学课件，习题集和参考文献等等，根据证据章节内容整理，全部搬到网络教学平台中去，作为资源库与学生共享，方便学生课后复习课程内容。为了方便师生交流，课程中心还设置了论坛、通知、公告、在线测试、和作业管理子系统，为师生互动提供了便捷的途径，师生可以通过平台进行实时和非实时交流。同时，为了培养学生的学习兴趣，还设置了主题讨论区，趣味问题解答区和离散数学相关理论的最新发展应用报告等，极大地拓展了学生视野。学生也可以组团，成立趣味学习小组，就某个主题进行研究性学习，协作式学习等等。
在实际教学中，授课老师也活跃在网络教学平台上，给学生以提示与指导。比如，在讲授“数理逻辑”的同时，我在发起了一个名为“跟我去寻宝”的帖子，提炼出知识的内在联系路线，每次理论课后更新，同时回答学生的提问。我发现学生的参与热情很高，浏览量也很高。回答的问题，其他同学随时都可以看到。通过这么提问-回答的反复过程，很多知识点以及他们之间的内在联系，都理解透并掌握了，这正是我们期望的效果。当然，一些重要的推理求解过程，当时懂了，可后来又忘了，特别是数理逻辑的推理过程。怎么办呢？为了解决这个问题，在反复推敲的基础上，选择了关键知识点，并精选例题，把问题表述、难点、解题思路和实现过程，以动画的方式开发出来，并放到资源库中，提供给学生学习使用，很受学生欢迎。后来，我们把这动画实现过程作为作品，报名参加全国大学生竞赛，还获得了奖。
五、结束语
顺应时代需求，与时俱进的教学改革，是一个长期的过程；改善教学效果，提高教学质量，是教学改革的追求目标。本文从教学内容、教学方法、教学环节以及教学支撑环境构建等方面，对《离散数学》的教学改革和实践进行回顾，总结和探讨，特别是对教学环节的把握进行了探索。这些经验和探索，都是从本院的实践教学中总结出来的，显示出一定的教学效果，在帮助学生克服学习障碍的同时，也给予授课老师很大的益处，那就是更清晰地理解了离散数学的知识点，把握了课程的内在逻辑结构，以及知识传达的宝贵经验，从而帮助老师更快更好地成长，变能上一门课为能上好一门课，提升教学质量，提高教学水平。
参考文献：
[1]梁道雷，陈海波.“离散数学”课程教学改革实践与探索.电脑与信息技术，vol20，no.4，pp：61～67，2012.
[2]王丽.浅析离散数学在计算机科学中的应用[J].数学学习与研究，2011（9）：102-104.
[3]黄震.《离散数学》课程教学模式改进方法的探讨.商丘职业技术学院学报，Vol.10，No.5，2011.8月.
[4]杨淑群，李小英，黄高昂.计算机本科专业《离散数学》的教学改革与实践.“东华理工学院学报（社会科学版）”，Vol.26，No.2，Jun 2007.
[5]谢志强.讲好离散数学的第一次课，计算机教育No.16，Aug25，2011.
[6]何中胜.离散数学教学中的问题分析和对策研究[J].高等理科教，2007（5）：107-109.
[7]匡能晖，胡国辉.离散数学教学中采取的三点技巧.当代教育理论与实践，Vol.3 No.9，Sep 2011.
资金项目：上海商学院校重点课程建设资金资助项目（243409）
作者简介：唐思章，男，1973年4月，汉族，中国上海。工作单位：上海商学院信息与计算机学院。职称：讲师。研究方向：软件工程，数据处理。