摘 要： 矩阵论作为一种重要的数学工具在数学学科与其他科学技术领域有着重要的应用。工科院校理科专业在《矩阵论》教学中注重计算能力的培养，对于应用能力的培养有所欠缺，学生在学习中主动性不足，学习兴趣不浓厚。针对理科专业矩阵论教学过程中出现的问题，本文主要从教学内容、教学方法和考核方式三个方面探讨教学改革的方法。
关键词： 《矩阵论》教学 教学改革 教学内容 教学方法 考核方式
矩阵论作为数学的一个重要分支，其矩阵理论和方法表达简洁、刻画深刻，是一种重要的数学工具。矩阵理论在数学学科和其他科学技术领域都有非常广泛的应用。随着电子计算机及计算技术的发展，矩阵理论的应用前景更为广阔。
本课程主要讲授线性空间与线性变换、范数理论、矩阵分析、矩阵分解、特征值估计、广义逆等内容。
一、教学改革的背景
虽然矩阵理论有着广阔的应用背景及前景，但是，在工科院校理科专业《矩阵论》教学过程中出现的问题恰恰因为课程理论内容与实际应用联系不密切。
理科专业课程设置中的《数学分析》、《高等代数》等也都注重培养学生逻辑思维能力，对于应用能力的培养比较欠缺。理科学生对于理论知识的实际的应用，单从教材中，接触到的非常少。在理科专业课程教学中出现了一个很突出的问题：学生学习了大量的理论知识，计算能力得到大量的训练，但是这些理论知识有什么背景？具体有什么用呢？这个问题困扰着大部分的理科生，他们看不到理论知识的来源和具体应用，只是在机械地进行着推理和计算。教材或者教师的讲解中很少有涉及所学的理论知识在物理或者经济或者工程等方面的背景，理论知识可以解决哪些实际问题。单一的逻辑思维能力和计算能力的培养大大降低了他们的学习主动性和学习兴趣。
《矩阵论》课程中的矩阵理论与方法与实际应用有着密切的联系，但是教材中应用的分析很少，即使有也是脱离实际的问题。如何针对该课程的特点和授课学生的特点，调动学生学习积极性，培养学生浓厚的学习兴趣成为教师思考的主要问题。
课程以期末笔试为单一的考核方式，注重考查学生对基本运算的掌握，没有考查相关解决实际问题的能力，这也是造成学生学习兴趣不浓厚的原因。
二、教学内容改革及其实践探讨
1.教学内容上补充理论知识在其他学科中的应用。
矩阵理论在数学学科与其他科学技术领域，诸如高等数学、数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用。但是教材中具体应用的例子较少。针对这一情况进行教学内容上的改革，具体实践如下。
（1）行列式应用：求过定点的曲面曲线方程，微积分中的证明。高等数学中的内容可以用行列式的理论进行求解和证明。
（2）矩阵的秩：判别曲面的位置关系。矩阵作为数学学科的一个重要工具，可以解决很多问题，高等数学中曲面的位置关系及判别直线是否共面等，都是利用了行列式的几何意义。
（3）矩阵对角化：求解微分方程组。可对角化的矩阵在矩阵中是非常特殊的一类，对这类矩阵的研究理论的应用简化了问题的解决过程，在微分方程中可以化某些一阶常微分方程为可分离变量的方程来求解。
（4）正交变换：判断二次曲面类型，最优化问题。正交变换因为其保持了内积、夹角、长度等性质，在计算时对于误差不会变化，从而利于优化问题的计算机计算。
（5）矩阵的正定性：求解函数极值。正定矩阵对应的标准形中的平方项系数都大于零，利用标准形解决高等数学中函数极值问题。
（6）二次型：多元函数极值。二次型的标准形中只含有平方项，从而在求解最值或极值问题时易于求出多元函数的极值和极值点。
（7）广义逆：最小二乘问题。多元线性方程组有时没有解，如何求出符合要求的最接近的解，利用广义逆解决不相容的方程组的求解问题。
（8）线性变换：电工学理论（线性网络的输入输出看成线性变换，网络的串联就是线性变换的乘积）。线性变换作为线性代数中的工具，可以由矩阵表示，从而用矩阵理论解决相关的问题。
2.教学内容上补充理论知在实际应用中的案例。
数学来源于实践，而数学的发展又要推动实践。向学生介绍有趣的幻方和hanio塔问题及其简单的求解。幻方问题古老而有趣，利用矩阵的知识可以构造幻方。hanio塔问题可以用矩阵理论求解。该问题具有很高的挑战性，曾经作为很多大公司的面试题目，可以激发学生计算机编程的兴趣。
化学：配平化学方程式，复杂体系的平衡问题。化学方程式可以用矩阵来表示，从而利用矩阵的运算来配平方程式。
生物：遗传问题，减少遗传病研究。遗传病问题也可以用矩阵表示。
信息：编码问题。利用可逆矩阵作为加密的密钥对信息加密，其逆矩阵就是解密密钥，这只是一类非常简单的线性编码问题。利用多项式可以进行多项式的编码，以及检错纠错等过程。
数学规划：最优化问题，多元方程组。矩阵理论的发展一直推动着最优化理论的发展，其中矩阵的分解理论、校正理论、特殊矩阵理论在大规模问题的计算中占有重要的地位。
图像传输：数字水印，图像压缩（矩阵分解）。图像压缩在传输中非常重要，矩阵的分解理论给图像压缩提供理论支持。
矩阵对角化：机械振动，线性电路分析，自动控制理论（状态变换的解耦问题）。
3.教学内容上补充理论的背景知识简介及前沿发展介绍。
在讲解广义特征值问题时，简单介绍振动理论，在讲解矩阵值函数时介绍线性控制系统等，使学生能了解问题的背景及其前沿发展，激发学生的兴趣。
在教学内容的改革实践中，部分内容采用教师简单介绍，部分内容采用详细讲解，部分内容以讨论课题目形式出现，引导学生查找相关资料，激发学生的学习主动性并培养学生的学习兴趣。
三、教学方法改革及其实践探讨
教学方法上采用教师讲授为主，逐步结合学生搜集相关应用资料、组织报告讨论，介绍数学软件Matlab，引导学生学习使用数学软件解决问题。
矩阵论作为重要的数学工具，其理论知识具有系统性和非常强的逻辑性，理论知识的讲解应该以教师讲解为主，教师在讲解的过程中引导学生深化理解，形成完整的理论知识体系，使学生在学习其他课程和进行科研工作时打下扎实的矩阵理论基础。
为培养学生学习的主动性和学习兴趣，教师应在讲授之外，以讨论课或小论文的形式布置与理论相关的应用型题目，培养学生查找资料的能力，使学生在自己动手动脑解决问题时，发现理论的应用，并利用所学理论解决实际的问题，培养学习兴趣，从而激发学习的主动性。
数学软件的使用，在很大程度上解决了计算的大规模问题，利用数学软件解决数学或者实际应用问题是学生在以后科研或者工作中的主要方向。比如教师在讲解矩阵分解时，介绍相关的Matlab指令，学生进行相应操作练习。逐步开设实验课，与教学内容紧密联系，锻炼学生应用数学软件解决问题的能力。
四、考核方式改革及其实践探讨
考核方式上采用笔试结合小论文或者专题报告，期末成绩和平时成绩相结合。平时成绩中包含出勤、讨论表现、作业、小论文或者专题报告的撰写，其比例不超过20%。
本次理科矩阵论教学改革主要针对教学中理论与实践联系不足的问题，在教学内容中增加理论知识在其他学科和实际中的应用，理论知识的背景及前沿介绍；教学方法中教师以理论的背景出发讲授课程内容知识，并给出相关的应用，课堂讲授结合学生查阅相关资料进行报告，介绍数学软件Matlab；考核方式上理论知识的考试结合学生的报告和撰写的小论文。通过教学改革，使学生深切感受到理论知识的具体应用，从而避免单一的理论教学，激发学生认识到矩阵论理论和方法在实际问题中的应用，提高学习主动性和能动性。
经过教学改革的实践，学生对矩阵理论的应用有了初步的了解，并撰写了相应的论文，对矩阵理论的学习兴趣有了很大的提高。
参考文献：
［1］北京大学数学系几何与代数小组.高等代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.
［2］程云鹏.矩阵论（第二版）［M］.西安：西北工业大学出版社，2005.